Garri Kímovich Veinshtéin nació el 13 de abril de 1963 en Bakú (Azerbaiyán). Garri es mitad judío por parte de padre Kimo Veinshtéin, y mitad armenio por parte de madre Clara Kasparián. Kaspárov es una versión rusificada del apellido de su madre.

Su padre murió de cáncer de pulmón a la edad de 39 años, por lo que Garri creció con sus abuelos y su madre. Su abuelo por parte de madre, es decir, el padre de su madre era una prominente figura en la producción del petróleo y su extracción. Durante los tres últimos años de su carrera fue ingeniero jefe, encargado de toda la producción petrolífera del mar alrededor de Bakú.

La madre de Garri era Ingeniera Electrónica, especializada en armas automáticas y telemecánica. Fue jefe de investigación y secretaria científica hasta que dejó de trabajar en 1981 para ayudar en la carrera ajedrecística de su hijo.